Das Sexagesimalsystem

Das Sexagesimalsystem (oder Hexagesimalsystem) ist ein Stellenwertsystem zum Wert 60 (lat. sexagesimus – der sechzigste).

Es wird heute noch verwendet, um Winkel und geographische Längen und Breiten anzugeben. Ein Grad hat 60 Minuten und eine Minute hat 60 Sekunden. Auch im Bereich der Zeitmessung hat es sich noch erhalten. Eine Stunde hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Im Spätmittelalter haben einige Mathematiker für ihre Berechnungen die Sekunden in Tertien weiter unterteilt. Dies hat sich jedoch nicht durchgesetzt.

Herkunft

Erstmalige Nachweise eines schriftlichen sexagesimalen Rechensystems, das jedoch noch ein Additionssystem war, reichen in die Zeit der Sumerer um 3300 v. Chr. zurück. Im weiteren Verlauf wurde in der babylonischen Mathematik ab ca. 2000 v. Chr. ein sexagesimales Stellenwertsystem verwendet. Die Hauptquellen zur Mathematik stammen aus der Zeit 1900 v. Chr. bis 1600 v. Chr., die ältesten Tabellentexte sind jedoch noch aus neusumerischer Zeit. Die nachalexandrinische Zeit zeigt unter den Seleukiden zunehmend griechische Einflüsse, die eine Synergie mit den babylonischen Kenntnissen eingingen, um später die gesammelten Erfahrungen der Sumerer, Akkader, Assyrer und Babylonier vollends nach Griechenland zu exportieren. Arabische Astronomen benutzten in ihren Sternenkarten und -tabellen die Schreibweise des berühmten griechischen Astronomen Ptolemäus, die auf sexagesimalen Brüchen basierte. Auch frühe europäische Mathematiker wie Fibonacci benutzten solche Brüche, wenn sie nicht mit ganzen Zahlen operieren konnten.

Ein Motiv für die Einführung eines Sexagesimalsystems sehen viele Historiker in der Astronomie, da die babylonischen Jahre zwölf Monate zu 30 Tagen umfassten, es gab aber auch etwa alle drei Jahre einen zusätzlichen 13. Schaltmonat.[1] Weitere Hinweise finden sich in der frühen Zählung der Mondmonate, die bis in das Jahr 35.000 v. Chr. nachgewiesen werden können (Kalender-Stöckchen). In der Republik Tschechien wurde der Speichenknochen eines jungen Wolfes von etwa 30.000 v. Chr. entdeckt, der eine Reihe von insgesamt 55 Einkerbungen aufweist, wobei die 9., die 30. und die 31. Kerbe von oben rund doppelt so lang sind wie die anderen Kerben.[2] Weil die mittlere Periode der Mondphasen 29,53 Tage beträgt, könnten die Markierungen mit den Mondphasen in Verbindung stehen.

Andere Wissenschaftler sehen als Grund für die Wahl der Zahl 60 als Basis des Rechensystems die Absicht, möglichst viele der beim praktischen Zählen und Messen (Handel) auftretenden Teile einfach ausdrücken bzw. berechnen zu können.[3]
Ein- und zweihändiges Zählen mit Fingergliedern und Fingern

Im gewohnten Dezimalsystem (Zehner-System) zählt man mit den zehn Fingern (zwei mal fünf) beider Hände. In einigen Gegenden der Welt existierte aber ein Zählen mit Hilfe der Fingerglieder, das einhändig zur Zahl zwölf (duodezimal), zweihändig aber zur Zahl 60 führte.[4]

Einhändiges Zählen bis 12

Gezählt wird mit dem Daumen als Zeiger und den Fingergliedern der gleichen Hand als Zählobjekt.

Das einhändige Zählen beginnt, indem man für das erste Objekt mit dem Daumen die Spitze, also das obere Fingerglied, des kleinen Fingers der gleichen Hand berührt.
Für das zweite Objekt wird mit dem Daumen das mittlere Fingerglied des kleinen Fingers berührt; so zählt man mit dem Daumen glied- und fingerweise weiter.
Drei → unteres Glied des kleinen Fingers
Vier → oberes Glied des Ringfingers
Fünf → mittleres Glied des Ringfingers
Sechs → unteres Glied des Ringfingers
Sieben → oberes Glied des Mittelfingers
Acht → mittleres Glied des Mittelfingers
Neun → unteres Glied des Mittelfingers
Zehn → oberes Glied des Zeigefingers
Elf → mittleres Glied des Zeigefingers
Zwölf → unteres Glied des Zeigefingers

Zweihändiges Zählen bis 60

Nachdem mit Hilfe des Daumens als Zeiger mit den jeweils drei Fingergliedern der restlichen vier Finger der gleichen Hand (4 × 3 = 12) das erste Dutzend abgezählt ist, ist die Zählkapazität einer Hand zunächst erschöpft.

Die andere Hand ist zur Faust geballt. Um sich zu merken, dass ein Dutzend gezählt wurde, streckt man nun einen Finger, z. B. den Daumen aus.
Nun zählt man weiter, indem man mit der ersten Hand wieder bei eins beginnt. Bei zwölf angekommen, ist das zweite Dutzend voll.
Um sich zu merken, dass zwei Dutzend gezählt wurden, streckt man nun den nächsten Finger der anderen Hand, z. B. nach dem Daumen den Zeigefinger aus.
Mit den fünf Fingern der linken Hand kann man so fünfmal ein Dutzend abzählen, also 5 × 12 = 60.
Nun kann man noch einmal mit der ersten Hand das nächste Dutzend zählen, also mit zwei Händen bis 72 zählen (12 an der ersten plus gemerkte 60 an der anderen Hand).

Dieses Fingerzählsystem existiert noch in Teilen der Türkei, des Irak, in Indien und Indochina.

Es kann auch bis 12 × 12 = 144 (ein Gros) gezählt werden, indem mit der zweiten Hand ebenfalls das Zählen mit Fingergliedern betrieben wird.

Beim Zählen einer größeren Menge kann auf ein Hilfsmittel zurückgegriffen werden, etwa Stöcke, Steine, Striche oder die zehn Finger eines Helfers. Jeweils fünf Dutzend, also 60, werden mit einem der Hilfsmittel gemerkt. Mit den zehn Fingern eines menschlichen Helfers kann bis 10 × 60 = 600 gezählt werden, mit den anderen Hilfsmitteln auch noch weiter.
Sumerer

Bei den Sumerern[5] trug die 60 den Namen gesch.

120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: gesch-ussu (60 ×
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Nun zählten die Sumerer nicht in 60er-Schritten (gesch-Schritten) weiter, sondern in 600er-Schritten (gesch-u-Schritten), und zwar sechsmal 600, also bis 3600, das schàr genannt wurde.
Die 3600 wurden dann wieder zehnmal gesteigert bis schàr-u (3600 × 10) 36.000.
Die 36.000 wurden sechsmal gezählt bis 216.000 schàr-gal, wörtlich das große 3600 (also 60 × 60 × 60).
Die 216.000 wurde zehn mal gezählt bis 2.160.000 schàr-gal-u (=(60 × 60 × 60) x 10)
Das schàr-gal-u wurde zunächst fünfmal vervielfacht. Die sechste Vielfache 12.960.000, also 60 × 60 × 60 × 60, erhielt wieder einen eigenen Namen, und zwar schàr-gal-shu-nu-tag (dem großen schàr übergeordnete Einheit).

Die Zahlen 10 bis 60 haben eine dezimale (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), und teilweise sogar vigesimale Struktur (40 = nischmin = nisch-min = 2 x 20).[6]
Das Sexagesimalsystem in der babylonischen Verwendung

Die Sumerer verwendeten vor den keilschriftlichen Zeichen für die Zahlen 1 und 60 jeweils unterschiedlich große Halbellipsen und für die Zahlen 10 und 3600 = 60² jeweils unterschiedlich große Kreise, die mit zylinderförmigen Griffeln in Tontafeln gedrückt wurden. Aus diesen Zeichen wurden noch die Zeichen für 600 = 10·60 und 36000 = 10·60² entsprechend kombiniert. Daneben gab es auch noch ein anderes System mit einer dezimalen Stufung 1, 10 und 100, sowie ein drittes System in akkadischer Zeit. Bis zur spätsumerischen Zeit veränderten die einzelnen Zeichen zwar ihre Form, behielten jedoch ihren individuellen Charakter und bildeten ähnlich den römischen Zahlen ein Additionssystem. Erst mit dem späteren babylonischen Sexagesimalsystem lag ein echtes Stellenwertsystem mit nur zwei Individualzeichen vor: Babylonian digit 1.svg für 1 und Babylonian digit 10.svg für 10. Mit diesen konnten additiv die Zahlen 1 bis 59 gebildet werden, die wiederum ihren tatsächlichen Wert wie die Ziffern im Dezimalsystem durch ihre Position erhielten.[7]
Die Zahlzeichen

Gründe für die Verwendung des Sexagesimalsystems liegen in der effektiven Rechenmethode sowie der sehr begrenzten Anzahl von Einzelzahlzeichen, aus denen die Zahlen gebildet wurden. Einige Beispiele der babylonischen Keilschrift:
Sexagesimalsystem in Form der Keilschrift 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Babylonian digit 1.svg Babylonian digit 2.svg Babylonian digit 3.svg Babylonian digit 4 alternative.svg Babylonian digit 5.svg Babylonian digit 6.svg Babylonian digit 7 alternative.svg Babylonian digit 8.svg Babylonian digit 9.svg
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Babylonian digit 10.svg Babylonian digit 11.svg Babylonian digit 12.svg Babylonian digit 13.svg Babylonian digit 14 alternative.svg Babylonian digit 15.svg Babylonian digit 16.svg Babylonian digit 17 alternative.svg Babylonian digit 18.svg Babylonian digit 19.svg
20 30 40 50
Babylonian digit 20.svg Babylonian digit 30.svg Babylonian digit 40.svg Babylonian digit 50.svg

Weitere Zahlenbeispiele:

Babylonian digit 1.svgBabylonian digit 2.svg = 62, Babylonian digit 2.svgBabylonian digit 2.svg = 122 und Babylonian digit 2.svgBabylonian digit 9.svg = 129.

Die Zahlzeichen setzten sich aus nur zwei Einzelzahlzeichen zusammen. Insofern war die Anzahl der eigentlichen Zahlzeichen nicht begrenzt, obwohl nur auf zwei Einzelzahlzeichen Bezug genommen wurde, die – je nach Bedarf – in den Größen verändert wurden. Es gibt dennoch immer wieder Probleme bei der Lesung, da die Stellen einer Zahl, die sich meist aus dem Zusammenhang ergaben, nicht eindeutig waren: z. B. konnte Babylonian digit 30.svg 30, 30·60 oder 30/60 usw. bedeuten. Ebenso gab es keine Null, so dass gelegentlich eine Stelle fehlte – was jedoch sehr selten vorkam – und unterschiedliche Zahlen gleich geschrieben wurden. Später wurde manchmal bei einer fehlenden Stelle eine Lücke gelassen, ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. kam ein Leerzeichen mit dem Wert Null als weiteres Zahlzeichen auf. Mit diesem Leerzeichen wurde aber nicht direkt gerechnet und es kam auch nicht als eigenständiges Zahlzeichen vor, es hatte also nicht die Bedeutung der Zahl Null. Die Bedeutung als Symbol für die Zahl Null gaben dagegen später zuerst die Inder ihrem Leerzeichen.

Sexagesimalzahlen werden durch arabische Ziffern wiedergegeben, indem man zwischen zwei einzelne Sexagesimalstellen ein Komma schreibt. Die ganzen Sexagesimalstellen trennt man dagegen durch ein Semikolon von den gebrochenen ab und bei fehlenden Stellen bzw. Leerzeichen schreibt man eine „0“ (das ist dann jedoch Interpretation): so bedeuten z. B. 30,0 = 30·60 und 0;30 = 30/60.
Die Rechentechnik
Addieren und Subtrahieren

Durch das Stellenwertsystem konnte, wie bei unserem Dezimalsystem, die vorangehende Stelle um jeweils 1 erweitert oder reduziert werden. Durch die Form der Keile war das Sexagesimalsystem leichter, da nur die Keile zusammengesetzt werden mussten. Als Fachausdrücke für die Addition und die Subtraktion wurden „Vermehren“ bzw. „Wegziehen“ verwendet (die mathematischen Symbole + und – führte erst Johannes Widmann im 15. Jahrhundert n. Chr. ein). Eine negative Differenz zweier Zahlen drückte man mit Subtrahend „geht darüber hinaus“ aus. Das Addieren und Subtrahieren funktioniert ebenso wie heute im Dezimalsystem.

Beispiel einer Addition:

\begin{array}{rr} 59&\\ +\ 11&\\ +\ 20&\\ \hline 1{,}30&(= 90), \end{array}

Babylonian digit 1.svgBabylonian digit 30.svg in Schreibweise des Sexagesimalsystems. Die 1 vor dem Komma gibt den Wert 1·60 an, zu dem die Zahl 30 nach dem Komma addiert wird.

Beispiel einer Subtraktion:

\begin{array}{rl} 4{,}40&(= 280)\\ -\ 1{,}40&(= 100)\\ -\ 1{,}50&(= 110)\\ \hline 1{,}10&(= 70), \end{array}

Babylonian digit 1.svgBabylonian digit 10.svg in Schreibweise des Sexagesimalsystems. Die 4 und die 1 vor dem Komma geben die Werte 4·60 sowie 1·60 an, dazu wird jeweils die Zahl 40, 50 bzw. 10 nach dem Komma addiert.

Multiplizieren

Auch bei der Multiplikation wurde wie im Dezimalsystem verfahren. Während man aber im Dezimalsystem das Einmaleins von 1·1 bis 9·9 im Kopf haben muss, hätten die Babylonier das Einmaleins von 1·1 bis 59·59 auswendig können müssen. Zur Erleichterung wurden Multiplikationstabellen verwendet, von denen man benötigte Produkte ablesen konnte: Jede Zeile einer Multiplikationstabelle begann mit der gleichen Kopfzahl, z. B. 2, es folgte der Ausdruck „mal“ und der Multiplikator, z. B. 1, und schließlich das Ergebnis, z. B. 2. Die Multiplikatoren gingen dabei von 1 bis 20 und danach kamen noch 30, 40 und 50.

Weil im Sexagesimalsystem 60 in 10er Schritten gestuft wurde (siehe oben unter Zahlzeichen) und im allgemeinen, täglichen Leben Dezimalzahlen viel in Gebrauch waren, wurden auch zu Kopfzahlen wie z. B. 1,40 = 100 und 16,40 = 1000 Multiplikationstabellen angelegt. Ein weiterer Grund ist das Zusammenwirken mit den Werten aus Reziprokentabellen (siehe unten unter Division). Wurden andere Werte benötigt, setzte man die Zahlen zusammen.

Die Kopfzahlen:
1,15 1,20 1,30 1,40 2 2,13,20 2,15 2,24 2,30 3 3,20 3,45 4 4,30 5 6 6,40 7 7,12 7,30 8
8,20 9 10 12 12,30 15 16 16,40 18 20 22,30 24 25 30 36 40 44,26,40 45 48 50

Beispiel einer Multiplikation:

29 \cdot 1{,}12 = 29 \cdot 1{,}0 + 20 \cdot 12 + 9 \cdot 12 = 29{,}00 + 4{,}00 + 1{,}48 = 34{,}48.

Dividieren

Die Babylonier dividierten eine Zahl a durch eine Zahl n in dem sie a mit dem Kehrwert von n multiplizierten:

a : n = a \cdot \frac{1}{n}.

Den Kehrwert einer Zahl n konnte man in einer Multiplikationstabelle mit der Kopfzahl n finden, falls n eine Potenz von 60 teilte. Denn stand dort als Ergebnis Babylonian digit 1.svg, d. h. eine Potenz von 60, dann war der zugehörige Multiplikator m der gesuchte Kehrwert (m und \frac{m}{60^l} haben im babylonischen Sexagesimalsystem die gleiche Darstellung):

n \cdot m = 60^l, also \frac{m}{60^l} = \frac{1}{n}.

Die Kehrwerte (Reziproke) von natürlichen Zahlen stellte man zur Erleichterung wieder in Reziprokentabellen zusammen. Man schrieb in solchen Tabellen bei Werten, die in einer Multiplikationstabelle keinen Kehrwert hatten, „ist nicht“ an Stelle des Kehrwertes. Für diese irregulären Zahlen, die Primfaktoren ≥ 7 besitzen, wurden wie für irrationale Zahlen Näherungswerte verwandt.

Die hauptsächlich verwendete Reziprokentabelle enthält die folgenden Zahlenpaare:
n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n n 1/n
2 30 3 20 4 15 5 12 6 10 8 7,30 9 6,40 10 6 12 5 15 4
16 3,45 18 3,20 20 3 24 2,30 25 2,24 27 2,13,20 30 2 32 1,52,30 36 1,40 40 1,30
45 1,20 48 1,15 50 1,12 54 1,6,40 60 1 1,4 56,15 1,12 50 1,15 48 1,20 45 1,21 44,26,40

Aus einer Reziprokentabelle lässt sich viel ablesen, u. a. \frac{1}{3} = 0;20 oder \frac{1}{3{,}0} = \frac{1}{180} = 0;0,20 oder 1 : 0;3 = 60 : 3 = 20, aber auch umgekehrt ist \frac{1}{20} = 0;3 usw.

Beispiele von Divisionen:

4 : 3 = 4 \cdot \frac{1}{3} = 4 \cdot 0;20 = 1;20.
0;12 : 25 = 0;12 \cdot \frac{1}{25} = 0;12 \cdot 0;2,24 = 0;0,28,48.

Wurzelberechnung

Der antike griechische Mathematiker und Ingenieur Heron von Alexandria verwandte in seiner Metrica zur Wurzelberechnung die schon im altbabylonischen Reich bekannte Methode[8]

\sqrt{a^2 \pm b} \approx a \pm\frac{b}{2a}.

a entnahm man dazu aus einer Quadratzahltabelle. Für die (irrationale) Quadratwurzel von 2 ergibt sich so:

\sqrt{2} = \sqrt{ 1;20^{2} + 0;13,20} \approx 1;20 + 0;5 = 1;25,

d. h.

\sqrt{2} = \sqrt{ \left(\frac{4}{3}\right)^{2} + \frac{2}{9}} \approx \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12} \approx 1,41666667.

Auf einer babylonischen Tontafel (Yale Babylonian Collection 7289) findet sich aber auch noch ein besserer Näherungswert auf der Diagonalen eines Quadrates:

\sqrt{2} \approx 1;24,51,10 \left(= \frac{30547}{21600} \approx 1,41421296\right).

Wegen

1;25 > \sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} > \frac{2}{1;25} \approx 1;24,42,21 (\approx 1{,}41176389),

liegt zwischen 1;25 und 1;24,42,21 deren arithmetisches Mittel

(1;25 + 1;24,42,21) \cdot 0;30 \approx 1;24,51,10

näher bei

\sqrt{2} \approx 1{,}41421356.

Nun werden die Seitenlänge des Quadrats auf der Tontafel mit 30 und die Länge der Diagonalen mit 42,25,35 angegeben, was sich als folgende Rechnung deuten lässt:

0;30 \cdot 1;24,51,10 = 0;42,25,35.

Das Beispiel zeigt, dass die Babylonier algebraische und geometrische Kenntnisse hatten (hier könnte der „Satz des Pythagoras“ benutzt worden sein).
Weitere Informationen

Ein direkter Verwandter des Sexagesimalsystem ist das Duodezimalsystem mit der Basis 12.

Quelle - Literatur & Einzelnachweise