Das Hamiltonsche Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip der Theoretischen Mechanik ist ein Extremalprinzip. Physikalische Felder und Teilchen nehmen danach für eine bestimmte Größe einen extremalen (d. h. größten oder kleinsten) Wert an. Diese Bewertung nennt man Wirkung, mathematisch ist die Wirkung ein Funktional, daher auch die Bezeichnung Wirkungsfunktional. Die Wirkung erweist sich in vielen Fällen nicht als minimal, sondern nur als „stationär“ (d. h. extremal). Deshalb wird das Prinzip von manchen Lehrbuchautoren auch das Prinzip der stationären Wirkung genannt[1]. Manche Autoren nennen das Hamiltonsche Prinzip auch Prinzip der kleinsten Wirkung, was jedoch – wie oben ausgeführt – nicht präzise ist.

Ein Beispiel ist das Fermatsche Prinzip, nach dem ein Lichtstrahl in einem Medium von allen denkbaren Wegen vom Anfangspunkt zum Endpunkt den Weg mit der geringsten Laufzeit durchläuft.

Die Newtonschen Bewegungsgleichungen folgen bei geeignet gewählter Wirkung aus dem Hamiltonschen Prinzip. Aber auch die Maxwellgleichungen der Elektrodynamik, die Einstein-Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie lassen sich auf ein Prinzip kleinster Wirkung zurückführen.

Geschichte

Pierre Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen (vgl. auch Ockhams Rasiermesser). Leonhard Euler und Joseph Lagrange klärten in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts, dass solch ein Prinzip die Gültigkeit von Euler-Lagrange-Gleichungen bedeute. Die lagrangesche Formulierung der Mechanik stammt von 1788. 1834 formulierte William Hamilton das nach ihm benannte Prinzip.

Max Planck deutet es als Hinweis darauf, dass sämtliche Naturprozesse zielgerichtet ablaufen. Es sei Zeichen einer Zweckbestimmung der Welt jenseits des menschlichen Sinnes- und Erkenntnisapparats.[2]

Mathematische Beschreibung, weiteres dzu im Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsches_Prinzip