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Das Gauß Siebzehneck

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Das Gauß Siebzehneck

Beitrag  Andy am Di Nov 24, 2015 10:03 pm

Das Siebzehneck ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.



Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Mathematischer Hintergrund

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{17} - 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die 17. Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung \zeta=e^{2\pi i/17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen 1, \ldots, {p - 1} können nämlich als Potenzen g^0=1, g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-2} einer sogenannten Primitivwurzel g dargestellt werden, wobei im Fall p = 17 konkret g = 3 gewählt werden kann:

   \begin{align} &1, \quad 3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 9\mod 17 = 10, \quad 3 \cdot 10\mod 17 = 13, \\ &5, \; 15, \; 11, \; 16, \; 14, \; 8, \; 7, \; 4, \; 12, \; 2, \; 6 \end{align}

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

   \zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

   Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
   Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
   Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel \zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1} = 2 \cos(2\pi/17).

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form 2^{2^k}+1 durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.


Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977: Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Lineal

Weiteres dazu im Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck

Nichts für Bildungsbürger des 21.Jahrhunderts die noch an Hokus Pokus glauben,oder revulutionäre Hinterweltler, die anderen in den Arschkriechen.
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