Braunschweig-aktuell
Würden Sie gerne auf diese Nachricht reagieren? Erstellen Sie einen Account in wenigen Klicks oder loggen Sie sich ein, um fortzufahren.
Ähnliche Themen
Suchen
 
 

Ergebnisse in:
 


Rechercher Fortgeschrittene Suche

Neueste Themen
» ebike controller tester - E-Scooter Fehlersuche Diagnose - Motor / Controller / Gashebel prüfen
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeMo März 18, 2024 6:23 am von checker

» Einfach erklärt - Funktionsweiße, Fehlersuche und Tuning. Bürstenloser Nabenmotor
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeMo März 18, 2024 6:15 am von checker

» Akne Filme Dr. Pimple Pooper
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeSa März 02, 2024 4:50 am von Andy

» R.I.P. Manni
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeSa Dez 30, 2023 6:31 am von checker

» R.i.P. Manfred Wüstefeld
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeSo Dez 10, 2023 9:07 am von checker

» R.I.P. Holger
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeFr Nov 03, 2023 9:33 pm von Andy

» R.I.P Rudolf HAASE
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeDo Sep 21, 2023 5:55 am von Andy

» PAROOKAVILLE 2023 | Finch
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeDo Aug 03, 2023 1:58 am von Andy

» Festivalfilm - ROCKHARZ 2023
Das Gauß Siebzehneck Icon_minitimeDo Aug 03, 2023 1:55 am von Andy

Navigation
 Portal
 Index
 Mitglieder
 Profil
 FAQ
 Suchen
Partner
free forum
März 2024
MoDiMiDoFrSaSo
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Kalender Kalender


Das Gauß Siebzehneck

Nach unten

Das Gauß Siebzehneck Empty Das Gauß Siebzehneck

Beitrag  Andy Di Nov 24, 2015 10:03 pm

Das Siebzehneck ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.

Das Gauß Siebzehneck 220px-Heptadecagon.svg

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Mathematischer Hintergrund

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x^{17} - 1 = 0 zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die 17. Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch von geschachtelten Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der „ersten“ von 1 verschiedenen Lösung \zeta=e^{2\pi i/17}). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[1] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl p gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen 1, \ldots, {p - 1} können nämlich als Potenzen g^0=1, g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-2} einer sogenannten Primitivwurzel g dargestellt werden, wobei im Fall p = 17 konkret g = 3 gewählt werden kann:

   \begin{align} &1, \quad 3 \cdot 1 = 3, \quad 3 \cdot 3 = 9, \quad 3 \cdot 9\mod 17 = 10, \quad 3 \cdot 10\mod 17 = 13, \\ &5, \; 15, \; 11, \; 16, \; 14, \; 8, \; 7, \; 4, \; 12, \; 2, \; 6 \end{align}

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17-ten Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

   \zeta,\ \zeta^3,\ \zeta^9,\ \zeta^{10},\ \zeta^{13},\ \zeta^5,\ \zeta^{15},\ \zeta^{11},\ \zeta^{16},\ \zeta^{14},\ \zeta^8,\ \zeta^7,\ \zeta^4,\ \zeta^{12},\ \zeta^2,\ \zeta^6,

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[2]

   Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
   Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
   Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel \zeta + \zeta^{16} = \zeta + \zeta^{-1} = 2 \cos(2\pi/17).

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form 2^{2^k}+1 durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Das Gauß Siebzehneck 1024px-Stamps_of_Germany_%28DDR%29_1977%2C_MiNr_2215
Briefmarke der Deutschen Post der DDR von 1977: Gauß, Siebzehneck, Zirkel und Lineal

Weiteres dazu im Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Siebzehneck

Nichts für Bildungsbürger des 21.Jahrhunderts die noch an Hokus Pokus glauben,oder revulutionäre Hinterweltler, die anderen in den Arschkriechen.
Andy
Andy
Admin

Anzahl der Beiträge : 36059
Anmeldedatum : 03.04.11

Nach oben Nach unten

Nach oben

- Ähnliche Themen

 
Befugnisse in diesem Forum
Sie können in diesem Forum nicht antworten