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Die Katastrophentheorie

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Die Katastrophentheorie

Beitrag  checker am Sa Dez 17, 2016 9:12 am

Dabei ist nicht der Bildungsstand oder das Bildungssystem der heutigen Zeit gemeint.
Auch wenn bildungstheoretiker die als Verschwörungstheorie bezeichnen, was daran fest zu stellen ist das Deutschland auf Rang 16 der Pisastudio liegt und wir hier gerade in Braunschweig an Wunder , Zauberei und anderen Schwachsinn glauben.
Viel mehr hat es was mit Mathematik zu tun und der alte Gauss würde sich im Grabe umdrehen wenn er heute leben würde.
Gut dazui folgendes:

Die mathematische Katastrophentheorie beschäftigt sich mit unstetigen, sprunghaften Veränderungen kontinuierlicher dynamischer Systeme. Diese können, auch wenn sie unter bestimmten Voraussetzungen einen stabilen Zustand anstreben, bei Änderungen der Parameter sprunghafte, nichtstetige, diskontinuierliche Änderungen der Lösung erfahren.

Die Katastrophentheorie untersucht das Verzweigungs-Verhalten dieser Lösungen (Bifurkationen) bei Variation der Parameter und ist damit eine wichtige Grundlage zur mathematischen Behandlung der Chaostheorie. Manchmal wird in der Mathematik lieber von Theorie der Singularitäten differenzierbarer Abbildungen gesprochen, und der reißerische Name Katastrophentheorie vermieden. Hauptergebnis ist die Einteilung dieser Singularitäten in sieben „Normaltypen“.

Die Katastrophentheorie fußt grundlegend auf der Differentialgeometrie (bzw. Differentialtopologie). Entwickelt wurde sie Ende der 1960er Jahre von René Thom, Wladimir Arnold und anderen. Sie findet Anwendung und Erweiterungen unter anderem in der modernen Physik und Ökonomie, aber auch in der Linguistik und der Psychologie und war deshalb auf diesen Gebieten in den 1970er Jahren als eine unmittelbar anwendbare qualitative mathematische Methode beliebt. Besonders aktiv war dabei der englische Mathematiker Erik Christopher Zeeman, der die Theorie von der Schiffsstabilität bis zur Evolutionstheorie einsetzte. Dies führte auch zu einer Gegenreaktion und Kritik an den Anwendungen der Theorie (speziell durch Zeeman) ab den 1970er Jahren[1]. Thom selbst suchte, wie der Titel seines Buches von 1972 zeigt, vor allem Anwendungen in der Biologie (speziell der Embryo-Entwicklung, Morphogenese).

Elementare Katastrophen

Die Katastrophentheorie analysiert entartete kritische Punkte von Potentialfunktionen. Das sind Punkte, bei denen neben allen ersten Ableitungen auch einige der höheren Ableitungen Null sind. Die Punkte bilden den Keim (germ) der Katastrophen-Geometrien. Die Entartung kann durch Entwicklung der Potentialfunktion in einer Taylorreihe und kleine Störung des Parameters „entfaltet“ werden.

Lassen sich die kritischen Punkte durch kleine Störungen nicht beseitigen, nennt man sie strukturell stabil. Ihre geometrische Struktur lässt sich bei drei oder weniger Variablen der Potentialfunktion und fünf oder weniger Parametern dieser Funktion durch nur sieben Typen von (Bifurkations-)Geometrien klassifizieren. Sie entsprechen den Normalformen, auf die die Taylorentwicklung um Katastrophen-Keime mit Hilfe von Diffeomorphismen (differenzierbaren Abbildungen) zurückgeführt werden kann.

Weiteres dazu im Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Katastrophentheorie_(Mathematik)

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