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Die drei Keplerschen Gesetze

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Die drei Keplerschen Gesetze Empty Die drei Keplerschen Gesetze

Beitrag  Andy Sa Apr 29, 2017 9:26 pm

Die drei Keplerschen Gesetze sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt. Er fand diese fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte. Die Sätze beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

1. Keplersches Gesetz
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Keplersches Gesetz
Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
3. Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen.

Die drei Keplerschen Gesetze 310px-Kepler_laws_diagram.svg
Grafische Zusammenfassung der drei Keplerschen Gesetze:
1. Zwei ellipsenförmige Umlaufbahnen, Brennpunkte f1 und f2 für Planet 1, f1 und f3 für Planet 2. Die Sonne (sun) in f1.
2. Die beiden grauen Sektoren A1 und A2, die in derselben Zeit überstrichen werden, haben dieselbe Fläche.
3. Große Halbachsen a1 und a2. Die Gesamtumlaufzeiten der Planeten 1 und 2 verhalten sich wie a13/2 : a23/2.


Die Bedingungen für die drei Keplerschen Gesetze sind dabei unterschiedlich. Das zweite Gesetz gilt für alle Zentralkräfte (die nicht einmal konservativ zu sein brauchen). Das dritte Gesetz gilt für Kräfte, die mit dem Abstand quadratisch abnehmen. Abweichungen vom ersten Gesetz sieht man jedoch schon im Sonnensystem: Die große Achse der Merkurellipse dreht sich aufgrund der Einflüsse der anderen Planeten sowie aus allgemeinrelativistischen Gründen langsam um die Sonne.

Grundlegende Bedeutung in der Astronomie

Die beiden ersten Keplerschen Gesetze stellen die exakte Lösung eines Zweikörperproblems im Rahmen der Newtonschen Mechanik dar, das durch die Keplergleichung beschrieben wird. Sie gelten für alle Zweiersysteme, wenn

die Körper Massepunkte sind,
keine Gravitationskräfte von anderen Körpern ausgehen,
nichtgravitative Bahnstörungen zu vernachlässigen sind

und

relativistische Effekte vernachlässigt werden können.

Das dritte Gesetz stellt eine sehr gute Näherung für die Lösung eines Mehrkörperproblems dar, bei dem die Masse des einen Körpers wesentlich größer ist als die der anderen. Ist die Lösung für einen der Körper gefunden, erhält man auch Informationen über die Bewegung der anderen Körper.

Obwohl die drei Gesetze die Bewegung nur in einem System zweier Himmelskörper exakt beschreiben (Bewegungsgleichung des idealisierten Zweikörpersystems in der Potentialtheorie), sind sie eine gute Näherung für die tatsächlich in einem Sonnensystem durchlaufenen Planetenbahnen. Die aus den Keplerschen Gesetzen zu entnehmenden sechs Bahnelemente (also die Halbachsenlänge, die Exzentrizität, die Inklination, die Knotenlänge, der Periapsiswinkel und die Periapsiszeit) sind die Grundlage jeder Bahnbestimmung. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen durch die Gravitationswechselwirkung der leichteren Körper untereinander werden Bahnstörungen genannt.
Geschichte

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – einschließlich mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonice mundi, ‚Weltharmonik‘, publiziert 1619). Dabei kamen ihm Überlegungen zu Hilfe, die heute als anthropisches Prinzip bezeichnet werden, und vermutlich auch die in der Musik zu findende Harmonik. Eine wichtige Grundlage für Kepler waren die Beobachtungen von Tycho Brahe und seine eigenen als Tychos Assistent, die als Rudolfinische Tafeln die Datenbasis bildeten, an der Kepler sein Modell testete. Das vorzügliche, in Prag erstellte Beobachtungsmaterial von Brahe und Kepler vom Planeten Mars war insbesondere für die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) bedeutsam.

Ein anderes in diesem Kontext von Kepler aufgestelltes Gesetz über die wirkende Kraft, die Anima motrix, hat sich als nicht zutreffend erwiesen. Die Keplerschen Planetengesetze wurden später von Newton in den allgemeineren Zusammenhang seines Gravitationsgesetzes gestellt.
Problematik der Mehrkörpersysteme

Schon wenn zwei Körper einander umkreisen, wirkt auch eine Gravitation vom kleinen zum größeren Körper: Daher bewegt sich auch dieser und steht nicht im Brennpunkt der Ellipse, sondern beide umlaufen das Baryzentrum (Massezentrum) des Systems (Unzulänglichkeit des heliozentrischen Weltbilds: Die Sonne steht nicht im „Mittelpunkt“ des Sonnensystems).

Wenn drei oder mehr Körper einander umkreisen, kommt es aufgrund der wechselseitigen gravitativen Einflüsse zu weiteren Bahnstörungen, für die die Keplerschen Gesetze und Bahnelemente ein bis heute verwendetes Bezugsystem darstellen (oskulierende Ellipsen, eine temporär angenäherte Lösung). Sind zahlreiche Körper gravitativ aneinander gebunden, herrschen praktisch immer chaotische, also langfristig hochgradig instabile Zustände. Daher weicht z. B. die Bewegung der Fixsterne um das galaktische Zentrum merklich vom 2. und 3. Keplerschen Gesetz ab, und auch das Sonnensystem ist kein bis in alle Ewigkeit stabiles Keplersystem (wie die Überschneidung der Neptun- und Plutobahnen zeigt).
Heliozentrische und fundamentale Formulierung der Gesetze

Kepler formulierte das Gesetz für die Planeten, die ihm bekannt waren. Für die Gesetze gilt aber das kosmologische Prinzip, nachdem sie überall im Universum gültig seien.

Der heliozentrische Fall des Sonnensystems ist aber der weitaus bedeutendste, daher sind sie in der Literatur häufig einschränkend nur für Planeten formuliert. Sie gelten natürlich auch für Monde, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke, oder die Ringe des Jupiter und Saturn, für Sternhaufen wie auch für Objekte auf der Umlaufbahn um das Zentrum einer Galaxie, und für alle anderen Objekte im Weltall. Außerdem bilden sie die Basis der Raumfahrt und der Bahnen der Satelliten.

In kosmischem Maßstab beginnen sich aber die relativistischen Effekte zunehmend auszuwirken, und die Differenzen zum Keplermodell dienen primär als Prüfkriterium für modernere Konzepte über Astrophysik. Die Formungsmechanismen in Spiralgalaxien etwa lassen sich mit einem rein auf den Keplerschen Gesetzen beruhenden Modell nicht mehr stimmig nachvollziehen.
Herleitung und moderne Darstellung

Die Keplerschen Gesetze können elegant direkt aus der Newtonschen Theorie der Bewegungen abgeleitet werden.

Das erste Gesetz folgt aus der Clairautschen Gleichung,[1] die eine vollständige Lösung einer Bewegung in rotationssymmetrischen Kraftfeldern beschreibt.[2]

Das zweite Gesetz ist eine geometrische Deutung des Drehimpulssatzes.[3]

Mittels Integration, der Keplergleichung und der Gaußschen Konstante folgt das dritte Gesetz aus dem zweiten,[4] oder mittels des Hodographen direkt aus den Newtonschen Gesetzen.[5]

Kepler versuchte mit seinen Gesetzen die Planetenbewegungen zu beschreiben. Aus den beobachteten Werten insbesondere der Marsbahn wusste er, dass er vom Ideal der Kreisbahnen abweichen musste. Anders als die späteren theoretischen Herleitungen Newtons sind seine Gesetze daher empirisch. Aus heutiger Sicht können wir allerdings von der Kenntnis der Newtonschen Gravitation ausgehen und damit die Gültigkeit der Keplerschen Gesetze begründen.

Weiteres dazu im Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze

Andy
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