*** Vektor ***

Im allgemeinen Sinn versteht man unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das zu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die als Skalare bezeichnet werden, multipliziert werden kann. Vektoren in diesem allgemeinen Sinn werden im Artikel Vektorraum behandelt.

Im engeren Sinne versteht man unter einem Vektor

in der analytischen Geometrie ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden.
davon ausgehend ein n-Tupel reeller Zahlen,[1] also ein Element des \R^n.
in der klassischen Physik eine physikalische Größe, die durch einen Betrag und eine Richtung gekennzeichnet ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und Vektoren als Elementen des Koordinatenraums \R^n.

Geschichte

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch.[2] Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie[3] der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions[4] und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions[5][6] publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.
Schreib- und Sprechweisen

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (\vec a, \vec{v}). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben (\mathbf{v}, \boldsymbol v oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung (\underline v) oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit kleinen Frakturbuchstaben (\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{v}) üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind \vec a, \vec b, \vec c und \vec u, \vec v, \vec w. Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors: v = |\vec{v}|

Geometrie
Definition


Verschiebung des Dreiecks ABC durch Verschiebung der Punkte um \vec {v }

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von A nach A', der Pfeil von B nach B' und der Pfeil von C nach C' dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor \vec {v }= \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'} . Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.


Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet, wird als \overrightarrow{AB} geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt A zum Punkt B zeigt. Man sagt: „Der Vektor \vec{a}=\overrightarrow{AB} bildet A auf B ab“, oder: „Der Vektor \vec{a}=\overrightarrow{AB} verbindet A und B.“ Der Punkt A wird in diesem Fall als Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird Länge oder Betrag des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor \overrightarrow{BA}, der B mit A verbindet, heißt Gegenvektor zu \overrightarrow{AB}. Der Vektor \overrightarrow{AA}, der einen Punkt A auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit \vec 0 oder \vec o bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.
Orts- und Richtungsvektoren
→ Hauptartikel: Ortsvektor

Vektoren können auch dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann der Ort des Punktes P durch den Vektor

\vec{p}=\overrightarrow{OP}

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt P gehörenden Ortsvektor. O bezeichnet dabei den Koordinatenursprung, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet.

Um sie davon zu unterscheiden, werden Vektoren, wie sie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurden, auch als Richtungsvektoren bezeichnet. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Sie können jedoch – wie gezeigt – jeden Punkt des Raums als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.

Diese Unterscheidung ist unter anderem in der analytischen Geometrie wichtig. Dort wird beispielsweise eine Gerade durch folgende Gleichung beschrieben:

\vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{v}

Der Stützvektor \vec{p} ist der Ortsvektor eines willkürlich gewählten „Stützpunktes“ der Geraden. Der Richtungsvektor \vec{v} gibt die Richtung der Geraden an. r steht für eine beliebige reelle Zahl, daher ist \vec{x} der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
Darstellung in Koordinaten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Komponenten untereinander, als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in x-Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in y-Richtung) beschreibt, schreibt man \vec v = \tbinom 7 3. Der Vektor \tbinom 2 {-5} beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in x-Richtung und −5 Einheiten in y-Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor \left(\begin{smallmatrix} 3\\-2\\4 \end{smallmatrix}\right) eine Verschiebung um 3 Einheiten in x-Richtung, 2 Einheiten in negativer y-Richtung und 4 Einheiten in z-Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben A und A' die Koordinaten A(-6|-1) und A'(1|2). Die Koordinaten des Verbindungsvektors \vec v = \overrightarrow{AA'} berechnen sich dann wie folgt:

\vec v = \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 1 - (-6) \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}.

Hier unterbrechen wir,wer weiterlesen möchte,hier der Link:

http://de.wikipedia.org/wiki/Vektor