Pythagoras in der Schmiede

Pythagoras in der Schmiede ist eine antike Legende, in der beschrieben wird, wie Pythagoras von Samos in einer Schmiede den Wohlklang von zusammenklingenden Hämmern entdeckte, deren Gewichte in bestimmten ganzzahligen Verhältnissen standen. Diese Beobachtung habe den Ausgangspunkt für Experimente gebildet, welche zur Grundlage für die musiktheoretische Beschreibung von Intervallen wurden. Mit den auf diesem Weg gewonnenen Erkenntnissen habe Pythagoras die Musiktheorie begründet. Die Legende hatte zur Folge, dass Pythagoras in der römischen Kaiserzeit und im Mittelalter pauschal als Erfinder "der Musik" bezeichnet wurde, womit die Musiktheorie gemeint war.


Pythagoreische Hämmer im Gewichteverhältnis 12 : 9 : 8 : 6

Die ältesten griechischen Quellen zu der Legende, die erst in der römischen Kaiserzeit bezeugt ist, sind verloren gegangen. Im Laufe der Jahrhunderte wurde die Erzählung abgewandelt. Erst in der Neuzeit konnte dank neuer Erkenntnisse über die Akustik gezeigt werden, dass die Angaben der Legende physikalisch falsch sind. Nach heutigem Forschungsstand ist die Legende reine Erfindung. Die musiktheoretischen Ergebnisse, zu denen die Beobachtung in der Schmiede angeblich geführt hat, sind jedoch korrekt.

Unabhängig von der Frage, wie und durch wen die Pythagoras zugeschriebene Entdeckung von musikalischen Zahlenverhältnissen tatsächlich erfolgt ist, handelt es sich bei der Formulierung dieser Zahlenverhältnisse um die erste überlieferte mathematische Beschreibung eines physikalischen Sachverhalts, deren Richtigkeit mit experimentellen Beobachtungen gestützt wird.[1]

Inhalt der Legende

Der ältesten überlieferten Version[2] der Legende zufolge hat Pythagoras, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte, ein Hilfsmittel gesucht, mit dem akustische Wahrnehmungen gemessen werden können so wie geometrische Größen mit dem Zirkel oder Gewichte mit der Waage. Als er an einer Schmiede vorbeikam, wo vier (nach einer späteren Version fünf) Handwerker mit Hämmern bei der Arbeit waren, bemerkte er, dass die einzelnen Schläge Töne unterschiedlicher Tonhöhe hervorriefen, die paarweise Harmonien ergaben. Dabei konnte er Oktave, Quinte und Quarte unterscheiden. Nur ein Paar, welches das Intervall zwischen Quarte und Quinte (große Sekunde) ergab, empfand er als dissonant. Darauf lief er freudig in die Schmiede, um Versuche anzustellen. Dabei fand er heraus, dass der Unterschied in der Tonhöhe weder von der Gestalt des Hammers noch von der Lage des geschlagenen Eisens oder der Kraft des Schlags abhängt. Vielmehr konnte er die Tonhöhen den Gewichten der Hämmer zuordnen, die er genau maß. Darauf kehrte er nach Hause zurück, um dort die Experimente fortzusetzen.

An einem Pflock, der schräg über die Ecke an den Wänden befestigt war, hängte er der Reihe nach vier gleich lange, gleich starke und gleich gedrehte Saiten auf, die er unten durch Anbinden unterschiedlicher Gewichte beschwerte. Dann schlug er die Saiten paarweise an, wobei die gleichen Harmonien erklangen wie in der Schmiede. Die mit zwölf Gewichtseinheiten am stärksten beschwerte Saite ergab mit der am geringsten belasteten, an der sechs Gewichtseinheiten hingen, eine Oktave. So zeigte sich, dass die Oktave auf dem Verhältnis 12 : 6, also 2 : 1 beruht. Die gespannteste Saite ergab mit der zweitlockersten (acht Gewichtseinheiten) eine Quinte, mit der zweitstraffsten (neun Gewichtseinheiten) eine Quarte. Daraus folgte, dass die Quinte auf dem Verhältnis 12 : 8, also 3 : 2 beruht, die Quarte auf dem Verhältnis 12 : 9, also 4 : 3. Für das Verhältnis der zweitstraffsten Saite zur lockersten ergab sich wiederum mit 9 : 6, also 3 : 2, eine Quinte, für das der zweitlockersten zur lockersten mit 8 : 6, also 4 : 3, eine Quarte. Für das dissonante Intervall zwischen Quinte und Quarte zeigte sich, dass es auf dem Verhältnis 9 : 8 beruht, was mit den schon in der Schmiede durchgeführten Gewichtsmessungen übereinstimmte. Die Oktave erwies sich als das Produkt von Quinte und Quarte:



Dann dehnte Pythagoras den Versuch auf verschiedene Instrumente aus, experimentierte mit Gefäßen, Flöten, Triangeln, dem Monochord usw.; dabei fand er immer die gleichen Zahlenverhältnisse. Schließlich führte er die seither geläufigen Benennungen für die relativen Tonhöhen ein.
Weitere Überlieferungen

Mit der Erfindung des Monochords zur Untersuchung und Demonstration der Zusammenklänge von Saitenpaaren mit verschiedenen ganzzahligen Längenverhältnissen soll Pythagoras ein bequemes Mittel zum Aufzeigen der von ihm entdeckten mathematischen Grundlage der Musiktheorie eingeführt haben. Das Monochord – altgriechisch kanōn, lateinisch regula genannt – ist ein Resonanzkasten, über den eine Saite gespannt ist. Auf dem Kasten ist eine Maßeinteilung angebracht. Das Gerät ist mit einem verschiebbaren Steg ausgestattet, durch dessen Verschiebung man die schwingende Länge der Saite teilen kann; anhand der Maßeinteilung lässt sich die Teilung genau bestimmen. Damit wird eine Messung der Intervalle möglich. Trotz des Namens "Monochord", der "einsaitig" bedeutet, gab es auch mehrsaitige Monochorde, mit denen man die Intervalle simultan zum Klingen bringen konnte. Allerdings ist unklar, wann das Monochord erfunden wurde. Walter Burkert datiert diese Errungenschaft erst nach der Zeit des Aristoteles, der das Gerät anscheinend noch nicht kannte; demnach wurde es erst lange nach Pythagoras' Tod eingeführt.[3] Leonid Zhmud hingegen meint, Pythagoras habe sein Experiment, das zur Entdeckung der Zahlenverhältnisse führte, wahrscheinlich mit dem Monochord durchgeführt.[4]

Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer der Frühzeit (spätes 6. und frühes 5. Jahrhundert v. Chr.), hat quantitative Untersuchungen zu musikalischen Intervallen durchgeführt. Das Hippasos zugeschriebene Experiment mit verschieden dicken frei schwingenden Kreisplatten ist im Gegensatz zu den angeblichen Versuchen des Pythagoras physikalisch korrekt. Ob Archytas von Tarent, ein bedeutender Pythagoreer des 5./4. Jahrhunderts v. Chr., einschlägige Experimente durchgeführt hat, ist unklar. Vermutlich war er in der Musik eher Theoretiker als Praktiker, doch nahm er auf akustische Beobachtungen seiner Vorgänger Bezug. Die musikalischen Beispiele, die er zur Stützung seiner akustischen Theorie anführt, betreffen Blasinstrumente; Versuche mit Saiteninstrumenten oder einzelnen Saiten führt er nicht an. Archytas ging von der falschen Hypothese aus, dass die Tonhöhe von der Verbreitungsgeschwindigkeit des Schalls und der Wucht des Stoßes auf den Klangkörper abhängt; in Wirklichkeit ist die Schallgeschwindigkeit in einem gegebenen Medium konstant und die Wucht beeinflusst nur die Lautstärke.[5]
Interpretation der Legende

Walter Burkert ist der Ansicht, dass die Legende trotz der physikalischen Unmöglichkeit nicht als willkürliche Erfindung zu betrachten sei, sondern einen Sinn habe, der in der griechischen Mythologie zu finden sei. Die Idäischen Daktylen, die mythischen Erfinder der Schmiedekunst, waren einem Mythos zufolge auch die Erfinder der Musik. Von einem Zusammenhang zwischen Schmiedekunst und Musik ging somit offenbar schon eine sehr alte Überlieferung aus, in der die mythischen Schmiede als Kenner des Geheimnisses der magischen Musik dargestellt wurden. Burkert meint, die Legende von Pythagoras in der Schmiede sei eine späte Umformung und Rationalisierung des uralten Daktylen-Mythos: In der Pythagoras-Legende erscheinen die Schmiede nicht mehr als Besitzer alten magischen Wissens, sondern sie werden ohne es zu wollen zu (unwissenden) "Lehrmeistern" des Pythagoras. Im Frühmittelalter bezeichnete Isidor von Sevilla den biblischen Schmied Tubal als den Erfinder der Musik; darin folgten ihm spätere Autoren. In dieser Überlieferung zeigt sich wiederum die Vorstellung einer Beziehung zwischen Schmiedekunst und Musik, die auch in außereuropäischen Mythen und Sagen vorkommt.[6]

Eine andere Erklärung schlägt Jørgen Raasted vor, dem Leonid Zhmud folgt. Raasteds Hypothese besagt, dass der Ausgangspunkt der Legendenbildung ein Bericht über Experimente des Hippasos gewesen sei. Hippasos verwendete Gefäße, die sphaírai genannt wurden. Dieses Wort sei durch ein Schreiberversehen mit sphýrai (Hämmer) verwechselt worden, und statt Hippasos' Namen sei der des Pythagoras als Urheber der Versuche eingesetzt worden. Daraus sei dann die Schmiedelegende entstanden.[7]
Grundlage der Musiktheorie

Die ganzen Zahlen 6, 8, 9 und 12 entsprechen bezogen auf den tiefsten Ton (Zahl 12) den reinen Intervallen Quarte (Zahl 9), Quinte (Zahl und Oktave (Zahl 6) nach oben:
Ganze Zahl Verhältnis zur
größten Zahl 12 Verhältnis,
gekürzt Verhältniszahl Intervallbezeichnung
12 12:12 1:1 1,000 Prime
9 9:12 3:4 0,750 Quarte
8 8:12 2:3 0,667 Quinte
6 6:12 1:2 0,500 Oktave

In Notenschrift können diese vier pythagoreischen Töne zum Beispiel mit der Tonfolge c' - f' - g' - c" ausgedrückt werden:


Die pythagoreischen Töne c' - f' - g' -

Audio: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/CFGc.ogg

Wird diese Tonfolge nicht vom tiefsten, sondern vom höchsten Ton (Zahl 6) aus betrachtet, ergeben sich ebenfalls eine Quarte (Zahl , eine Quinte (Zahl 9) und eine Oktave (Zahl 12) – in diesem Fall allerdings nach unten:
Ganze Zahl Verhältnis zur
kleinsten Zahl 6 Verhältnis,
gekürzt Verhältniszahl Intervallbezeichnung
6 6:6 1:1 1,000 Prime
8 8:6 4:3 1,333 Quarte
9 9:6 3:2 1,500 Quinte
12 12:6 2:1 2,000 Oktave

Die Quinte und die Oktave tauchen in Bezug auf den Grundton zwar auch bei Naturtonreihen auf, nicht jedoch die Quarte oder deren Oktavierungen. Dieser Quartton kommt bei den schon in der Antike bekannten ventillosen Blechblasinstrumenten und bei Flageoletttönen von Saiteninstrumenten nicht vor; seine Entdeckung war eine Neuerung.
Bedeutung für die spätere Weiterentwicklung der Tonsysteme

Die weitere Untersuchung von Intervallen mit Tonhöhen mit ganzzahligen Verhältnissen führte schließlich von diatonischen Tonleitern mit sieben verschiedenen Tönen (Heptatonik) in Pythagoreischer Stimmung zu einer chromatischen Tonleiter mit zwölf verschiedenen Tönen, die zur Vermeidung der unangenehm klingenden, „heulenden“ Pythagoreischen Wolfsquinte zunächst in mitteltöniger und später in temperierter Stimmung gebraucht wurden. Beim Vergleich von sieben aufeinanderstehenden reinen Oktaven mit zwölf aufeinanderstehenden reinen Quinten kommt es zwischen dem jeweils ersten und letzten Ton nicht zu zwei identischen Intervallen, sondern zu einer Abweichung, dem sogenannten Pythagoreischen Komma.

In gleichstufiger Stimmung, in der nur Oktaven vollkommen rein klingen, stellt die zwölfstufige Tonskala die Grundlage für die Dodekaphonie dar. Diese gleichstufige Stimmung wird heute auch häufig zur Stimmung von Tasteninstrumenten, Idiophonen und Elektrophonen verwendet.
Die vier pythagoreischen Töne in der Musik

In der Musik spielen die vier harmonischen pythagoreischen Töne in der Pentatonik, besonders auf der ersten, vierten, fünften und achten Tonstufe von diatonischen Tonleitern (insbesondere bei Dur und Moll) und bei der Komposition von Kadenzen als Grundtöne von Tonika, Subdominante und Dominante eine herausragende Rolle. Diese Tonfolge tritt oft bei Schlusskadenzen mit den entsprechenden Akkorden auf:


Vollkadenz in C-Dur mit der Stufenfolge: Tonika (C-Dur) - Subdominante (F-Dur) - Dominante (G-Dur) - Tonika (C-Dur)


Die vier pythagoreischen Töne tauchen in vielen Kompositionen auf. Die ersten Töne der frühmittelalterlichen Antiphonen Ad te levavi und Factus est repente bestehen abgesehen von einigen Verzierungen beziehungsweise Spitzentönen im Wesentlichen aus den vier pythagoreischen Tönen.[8]



Ein weiteres Beispiel ist der Anfang der Passacaglia c-Moll von Johann Sebastian Bach. Das Thema besteht aus fünfzehn Tönen, von denen insgesamt zehn Töne und insbesondere die letzten vier Töne aus der Tonfolge geschöpft wurden.
Widerlegung

Absolute Tonhöhe von Hämmern

Die Eigenfrequenz von Stahlhämmern, die von Menschenhand bewegt werden können, ist meist im Ultraschallbereich und somit unhörbar. Pythagoras kann diese Töne nicht wahrgenommen haben, insbesondere wenn die Hämmer in der Tonhöhe einen Unterschied von einer Oktave aufwiesen.

Tonhöhe in Abhängigkeit vom Hammergewicht

Die Tonhöhe eines longitudinal frei schwingenden Festkörpers ist in der Regel nicht proportional zu seinem Gewicht beziehungsweise seinem Volumen, wohl aber proportional zur Länge, die sich bei ähnlicher Geometrie nur mit der Kubikwurzel des Volumens ändert.

Für die pythagoreischen Hämmer gelten bei ähnlicher Geometrie also die folgenden Verhältniszahlen (Angaben in willkürlichen Maßeinheiten):

So und hier unterbrechen wir wieder ,al,wem es interressiert,hier der Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_in_der_Schmiede