Mathematik im Alten Ägypten

Mathematik im Alten Ägypten bezieht sich auf die Geschichte und Anwendung der täglichen Berechnungsformeln.

Überblick

Die früheren Annahmen, dass sich die altägyptische Mathematik erst sehr spät entwickelte, sind heute nicht mehr haltbar. Nahezu gleichzeitig mit den ältesten Schriften in Mesopotamien und Vorderasien entstand etwa um 3000 v. Chr. in Ägypten die Hieroglyphenschrift aus der Notwendigkeit heraus, mit dem Entstehen des Zentralstaates den Anforderungen an das Festhalten von Vorgängen in Verwaltung und Wirtschaft durch Aufzeichnungen gerecht werden zu können. Damit entstanden auch die Zeichen für Zahlen und es begann sich die Mathematik zu entwickeln. Bereits im ausgehenden 4. Jt. v. Chr. besaßen die Ägypter mathematische Kenntnisse und Methoden zur Bewältigung täglicher Anforderungen, welche die quantitativen Verhältnisse und räumlichen Beziehungen in der objektiven Realität betrafen. So sind zugleich mit den ersten Belegen für die Benutzung der Hieroglyphenschrift auch die ersten Zahlenzeichen nachweisbar. Nach der Reichseinigung wurden etwa bis zur 3. Dynastie aufgrund der Anforderungen der Staatsverwaltung die für die ägyptische Mathematik erforderlichen Entdeckungen gemacht und die entsprechenden Rechenverfahren bildeten sich heraus. Später erfolgten nur noch Verfeinerungen.

Ohne mathematische Kenntnisse wäre der Pyramidenbau ab ca. 2650 v. Chr. nicht möglich gewesen. Die exakt berechneten Pyramiden sind ein deutliches Anzeichen für die weitreichenden mathematischen Kenntnisse im Alten Ägypten. Ägyptische Zahlen beruhten, wie römische Zahlen, auf einem additiven System, das für die Null kein eigenes Zeichen und keine Positionswertbeschreibung kannte. Neben Addition und Subtraktion waren auch Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen bekannt. Auch für die Multiplikation und Division haben die alten Ägypter Verfahren gekannt, wie Rechenaufgaben des Papyrus Rhind zeigen.

Im Gegensatz zu Funden derselben Epoche aus Mesopotamien sind aus Ägypten aus dem Alten Reich nur wenige mathematische Berechnungen belegt. So ist in einer Grabinschrift aus dem Grab des Metjen in Saqqara aus der Übergangszeit von der dritten zur vierten Dynastie die Berechnung der Fläche eines Rechtecks überliefert.[1] Gefundene Zahlen in Tempeln und auf Steindenkmälern geben jedoch wenig Einblick in die vorgenommenen Rechenarten. Gründe liegen in der umständlichen und mühsamen Schreibung von mathematischen Gleichungen auf nicht geeignetem Untergrund. Mit Einführung der Papyri erweitern sich ab der zweiten Hälfte des Mittleren Reiches die Befunde für mathematische Nachweise.
Quellen

Das heutige Wissen über die altägyptische Mathematik ist hauptsächlich durch mathematische Papyri überliefert. Dabei handelt es sich um sehr ähnlich aufgebaute Übungs- oder Lehrbücher, die mathematische Grundregeln und praktische Übungsbeispiele für Schüler enthalten. Die Papyri sollten Schreibschüler auf die Bewältigung von praktischen Problemstellungen vorbereiten, die sie im späteren täglichen Arbeitsleben erwarteten.[2]

Die ältesten und bekanntesten der mathematischen Papyri stammen aus dem Mittleren Reich und der Zweiten Zwischenzeit:

Reisner-Papyri (um 1970 v. Chr.)
Holztäfelchen aus Achmim (um 1950 v. Chr.)
Papyrus Moskau 4676 (um 1850 v. Chr.)
Papyrus Berlin 6619 (um 1800 v. Chr.)
Mathematische Papyri aus Lahun (um 1700 v. Chr.)
Mathematische Lederrolle (um 1650 v. Chr.)
Papyrus Rhind (um 1650 v. Chr. angefertigt, Abschrift aus 12. Dynastie)

Aus dem Neuen Reich und späterer Zeit stammen:

Papyrus Anastasi I (Ramessidenzeit)
Ostrakon Senmut 153
Ostrakon Turin 57170
Ostraka aus Deir el-Medina (beinhalten verschiedene Volumenberechnungen für das Ausheben von Gräbern)

Zahlen
→ Hauptartikel: Ägyptische Zahlen

Die Ägypter verwendeten das Dezimalsystem, im Gegensatz zu den Babyloniern, die mit dem Sexagesimalsystem (Basis 60) rechneten. Sie hatten allerdings kein Positionssystem, sondern schrieben die Zahlzeichen additiv nebeneinander. Für die Zahl 1 zogen sie einen senkrechten Strich und bis zur Zahl 9 wurde der Strich neunmal geschrieben. Beim zehnfachen nahm man das nächsthöhere Zeichen und wendete dieselbe Methode nochmal an.

Für den praktischen Gebrauch wurden nicht mehr als sieben verschiedene Hieroglyphenzeichen benötigt, allerdings kannten die Ägypter kein Symbol für die Null.
Hieroglyphische Zahlzeichen 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
Z1

V20

V1

M12

D50

I8

C11


Für die Bruchrechnung wurde eine eigene Schreibweise verwendet, die auf der Addition von Stammbrüchen beruhte. So wurde der Bruch \tfrac{4}{15} z. B. als \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{15} dargestellt. Die Bildung von ägyptischen Brüchen beruht auf drei einfachen Grundregeln:[3]

Finden des größten Stammbruches, der in dem gegebenen Bruch enthalten ist.
Bilden der Differenz dieser beiden Brüche.
Solange Schritt 1 und 2 für die Differenz wiederholen, bis der Rest ein Stammbruch ist.

Die Darstellung der Stammbrüche erfolgte mit der Hieroglyphe
r
, die man über die entsprechende Zahl setzte. Für einige häufig gebrauchte Brüche wie \tfrac{2}{3} und \tfrac{3}{4} gab es als Ausnahme besondere Zeichen.
Besondere Zeichen für Brüche \tfrac{1}{2} \tfrac{1}{3} \tfrac{2}{3} \tfrac{1}{4} \tfrac{3}{4}
Aa13

D21
Z1

D22

Z9

D23

Die Zahlendarstellung auch mit zusammengesetzten Brüchen ermöglichte viele Teilungsmöglichkeiten und so auch die Darstellung kleiner Maßeinheiten und Winkelunterschiede. Die mit der damaligen Rechentechnik gefundenen Lösungen sind bewundernswert.
Grundrechenarten
Multiplikation
→ Hauptartikel: Ägyptisches Multiplizieren

Auch wenn das Verfahren für uns heute fremd ist, kannten die alten Ägypter eine Methode, um schriftlich zu multiplizieren. Sie nutzen dabei die Eigenschaft aus, dass jeder Multiplikator als Summe von 2er Potenzen dargestellt werden kann.[4]

Bsp. 13•12=156 rechneten die alten Ägypter wie folgt:

13 • 12 Unter den Multiplikator wird eine 1 geschrieben,
1 12 / der Multiplikant unverändert daneben. Dann werden
2 24 beide Zahlen sooft verdoppelt, bis der Multiplikator
4 48 / (in diesem Fall 13)zusammen addiert werden kann.
8 96 / (Hier: 8+4+1=13) Addiert man die rechten Zahlen derselben
+______ Zeilen so erhält man das Ergebnis (Hier: 12+48+96=156)
13 156

Division

Ganz ähnlich funktioniert auch die Division.[5]

Bsp. 143:11=13 Die alten Ägypter machten daraus folgende Aufgabe: Rechne mit 11 bis du 143 findest (→ Umgekehrte Multiplikation)

143 : 11 Unter den Dividend wird die 1 geschrieben, der
1 11 / Divisor unverändert daneben.
2 22 Diesmal muss jedoch sooft verdoppelt werden, bis auf der
4 44 / rechten Seite die Zahl des Dividenden zusammen addiert
8 88 / werden kann. (Hier: 11+44+88=143) Addiert man die linken
+______ Zahlen der entsprechenden Zeilen, erhält man das Ergebnis.
13 143 (Hier: 1+4+8=13)

Algebra

Neben einfachen arithmetischen Rechenaufgaben bilden solche mit „Verteilen“ von Waren, Lebensmitteln, Bier, Futter etc. an eine bestimmte Zahl von Menschen bzw. Tieren die am häufigsten auftretenden Themenstellungen. So wird in Aufgabe 5 des Papyrus Rhind nach einer Verteilung von 8 Broten auf 10 Personen gefragt.[6]
Geometrie

Durch die alljährlich sich wiederholende Nilschwemme und die dadurch verursachte Verwischung der Feldbegrenzungen durch den abgelagerten Nilschlamm sowie den Zwang zur Neueinteilung der Felder nach Ablaufen der Flut waren die alten Ägypter zur Vermeidung endloser Bodeneigentums- und Bodennutzungsstreitigkeiten darauf angewiesen, planimetrische Berechnungen der Flächeninhalte von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen zu entwickeln. Durch diese Praxisbezogenheit spielte die Geometrie eine wesentlich größere Rolle als die Arithmetik. Die mathematischen Kenntnisse beruhten nahezu ausschließlich auf Erfahrungswerten. Es wurden nicht irgendwelche abstrakten Figuren, sondern dreieckige oder quadratische Felder berechnet. Den Ägyptern ging es nicht um mathematische Beweise, sondern immer nur um Rechenvorschriften, um „Rechenrezepte“ mit mehr oder weniger guten Näherungswerten als Ergebnis. Die Entwicklung der Geometrie war eng mit den Bedürfnissen der Praxis verknüpft und an den Erforderungen der Feldeinteilung und -vermessung, der Architektur und des Bauwesens sowie an der Messung von Rauminhalten orientiert.[7] Sesostris I. entwarf das Modell des Nilometers.

Hinsichtlich der Erbauung von Grabpyramiden entwickelten sie im Laufe der Zeit die Berechnung der Grundfläche, des Mantels, des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs durch V=(a^2+ab+b^2) (h/3), und anderer Pyramidenkenngrößen einschließlich (16/9)² als Näherung der Kreiszahl π (pi) sowie einige pythagoreische Tripel. Die Kreiszahl (16/9)² wurde nur bei der Berechnung der Kreisfläche angewendet. Den Umfang berechnete man mit 3 E(llen) 1 H(andbreite). Zum Durchmesser 1 E gehört der Umfang 3E 1H.[8]
Bedeutung der ägyptischen Mathematik im Altertum

Die ägyptische Mathematik und Rechentechnik haben einen beachtlichen Einfluss auf die Herausbildung einer mathematischen Wissenschaft in der griechischen Welt ausgeübt. Sie wurden von den griechischen Historikern hoch gerühmt und als Quelle ihrer eigenen Kenntnisse betrachtet. Bereits Herodot berichtete im 5. Jh. v. Chr., dass die Griechen die Geometrie von den Ägyptern und die Arithmetik von den Babylonern erlernten. Auch Platon sprach im 4. Jh. v. Chr. nach einem monatelangen Aufenthalt in Heliopolis von den mathematischen Kenntnissen im damaligen Ägypten voller Hochachtung.

Siehe auch

Geschichte der Mathematik.

Quelle - literatur & Einzelnachweise