Der Satz von Gelfond-Schneider

Nun liebe Bildungsbürger das hat nichts mit dem tapferen Schneiderlein zu tun,auch nicht mit den lohn & kindersklaven die Eure schöne neue Mode zum Hungerlohn nähen.
Nein viel mehr hat es mit einen Russen zu tun und ob ihr es glaubt oder nicht,die können auch sehr gut rechnen.
Dazu findet sich folgendes niedergeschrieben:

Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon ein Jahr später von Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des Satzes

Es seien \alpha und \beta algebraische Zahlen (mit \alpha \neq 0, 1). \beta sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

\, \alpha^{\beta} ist transzendent.

Komplexe Zahlen

Für \alpha und \beta dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt \alpha^{\beta} = \exp (\beta \cdot \ln \alpha) . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von 2\pi\mathrm i eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.
Anwendungen

Die Transzendenz der folgenden Zahlen folgt unmittelbar aus dem Satz:

Die Gelfond-Schneider-Konstante 2^{ \sqrt{2} } sowie \sqrt{2}^{\sqrt{2}}
Die Gelfond-Konstante \, e^{\pi} , da \, e^{\pi} = e^{\mathrm i \pi (-\mathrm i)} = (-1)^{-\mathrm i} . Man beachte, dass \mathrm i keine rationale Zahl ist.
Die reelle Zahl \rm i^i, da {\rm i^i}=\left(e^{\mathrm i\pi/2}\right)^\mathrm i=e^{-\pi/2}\approx 0{,}207879

Siehe auch

Satz von Lindemann-Weierstraß
Vermutung von Schanuel, die diesen Satz verallgemeinert

Quelle - Literatur & einzelnachweise